Random Walk in VAR
蒙提霍尔问题，亦称为蒙特霍问题或三门问题（英文：Monty Hall Problem）[1]，是一个源自博弈论的数学游戏问题，大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题的名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。
这个游戏的玩法是：参赛者会看见三扇关闭了的门（X、Y、Z），其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门（例如X），但未去开启它的时候，知道门后情形的节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇（例如Y），露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者是坚持原来的选择（即X）呢，还是换另一扇仍然关上的门（即Z）。那么，哪一个选择赢得汽车的概率更大？
换另一扇门赢得汽车的概率更大，为2/3；而坚持原来的选择赢得汽车的概率为1/3。因此，更好的选择是“换”。
证明如下[2]：
令CX、CY、CZ分别代表门X、Y、Z藏有车的事件，令HY代表主持人打开门Y的事件。由于问题假定参赛者刚开始选择了门X，并且主持人后来打开了门Y，则只有当车在门Z时，换门才是一个更好的策[......]
This will be a series of essays, pertaining to some relationship between math and life.
-- You go up and go up, but suddenly you lose everything.
Today when I was in the Martingale Theory class, the professor wrote a model on the board.
P(Yi=2)=P(Yi=0)=0.5
Xn=Y1×Y2×…×Yn×
This is a submartingale. However, although we have E(Xn) monotonically increasing, Xn converges to zero as surely. Whenever Y takes a zero value, Xn will be zero after[......]
一个赌徒在每次赌博中以概率p赢一个单位，并以概率q=1-p输一个单位，假设各次赌博都是独立的，赌徒在开始时有a个单位，问他的财富在达到0（即破产）前先达到N的概率是多少[1]？
设Pa(a=0,1,…,N)记赌徒在开始时有a个单位而且他的财富最终达到N的概率。通过对初始的一次赌博的结果取条件，我们得到
由于p+q=1，上式等价地有
或者
(Pa - Pa-1), a=1,2,…,N-1由于P0 = 0，我们从上一式得到
以下的第一个匹配问题摘自[1]：
问题：假如你有一个装了n个无差别的球的罐子，每个球分别贴了1,2,3,…,n的标签。每次取出一个球直至所有球均取出，那么，至少有1个球的取出顺序与它的标签一致的概率是多少（例如，标签为2的球是第2个取出来的）？
解答 n个球有n!种排列顺序，假设在某一排列中第j个元素代表第j个取出的球。令Pj(j=1,2,…,n)代表某一给定的排列的第j个取出的球的标签为j，并且令Aj代表具有属性Pj的排列的集合。那么，至少有1个球的取出顺序与它的标签一致的排列的数量Ln为
$$! \begin{array}{l} {{L}_{n}}=|{{A}_{1}}\cup {{A}_{2}}\cup \cdots \cup {{A}_{n}}| \\ =\sum\limits_{i}{|{{A}_{i}}|}-\sum\limits_{i[......]
连续抛掷一枚标准的骰子（即出现6种点数的概率一样，均为1/6）直至点数和超过12。则点数和最有可能是多少？例如，如果点数依次为3、6、1、5，则点数和为15。
解 一种解法是穷举所有点数系列，看看哪个点数和最有可能。但有另一种更巧妙的方法。假如点数系列之和为14，则最后一次抛骰子的点数不可能是1，否则点数和为13（已经超过12）而终止。对于产生14的所有点数系列，如果最后一次的点数均减少1，则可以产生13（因得到14的最后一次不能是1，所以得到14的最后一次骰子点数只能是2、3、4、5、6，那么若最后一次骰子点数改为1，2，3，4，5，这些点数系列之和就会得到13），因此，出现点数和为13的点数系列至少与出现点数和为14的点数系列一样可能。实际上，13的可能性比14还要多，因为得到13的还能以6结尾（如{3，4，6}等）。以此类推，13比15、16等更有可能，因此，点数和最有可能是13。
题目出处[1]中只说明点数和最有可能是13，但并没有给出这种可能性具体是多少，博主也没想出，留待以后解决。通过Matlab仿真，可以得到概率大概是多少：
[crayon-664afbf[......]
该图的作者Paul Butler当时是Facebook数据基础架构组的实习生，通过可视化图像来展示Facebook上5亿用户的人际关系链。很明显，部分地区是黑色的……
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伊索寓言《狼来了》可谓家喻户晓。那个说谎的孩子是怎样一步一步丧失村民的信任的呢？借助于贝叶斯公式我们可以给出故事的概率论解读。
记A为事件“这个小孩说谎”，B为事件“这个小孩被认为可信”；再不妨设可信的孩子说谎的可能性为0.1，不可信的孩子说谎的可能性为0.5，即
浦丰投针问题（Buffon’s Needle Problem）是几何概率的经典问题之一，由George-Louis Leclerc和Comte de Buffon于1777年提出——平面上画有等距离为D（D>0）的无限多条平行线，向此平面投掷一根长度为L（L≤D）的针，则该针与任一平行线相交的概率Pcut为：
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