Random Walk in VAR
贝特朗悖论：在一给定圆内所有的弦中任选一条弦，求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率。
至少有三种方法可以在一个圆上随机选择一条弦，如下：
解法一：如左图，由于对称性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～120°之间，其长才合乎要求。所有方向是等可能的，则所求概率为1/3。此时假定端点在圆周上均匀分布。
解法二：如中图，由于对称性，可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4点与3/4点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。所有交点是等可能的，则所求概率为1/2。此时假定弦的中心在直径上均匀分布。
解法三：如右图，弦被其中点位置唯一确定。只有[......]
浦丰投针问题（Buffon’s Needle Problem）是几何概率的经典问题之一，由George-Louis Leclerc和Comte de Buffon于1777年提出——平面上画有等距离为D（D>0）的无限多条平行线，向此平面投掷一根长度为L（L≤D）的针，则该针与任一平行线相交的概率Pcut为：
在数轴上的区间[0 1]上有两个随机点A和B，它们的坐标服从[0 1]上的均匀分布，即X1~U(0,1)，X2~U(0,1)。则此两点间距离的数学期望是多少？
两点间的距离X = |X1-X2| = max{X1,X2} - min{X1,X2}。令Y = max{X1,X2}， Z = min{X1,X2}，两者的累积分布函数为：
F(Y) = P(Y≦y) = P(X1≦y & X2≦y) = P(X1≦y) × P(X2≦y) = y×y = y2
F(Z) = P(Z≦z) = 1-P(Z≧z) = 1-P(X1≧z & X2≧z) = 1 - P(X1≧z) × P(X[......]