电亮人生

这是果壳网上的一篇转载文章^[1]——

这是最后一只僵尸，他啃完南瓜后将开始进入大蒜阵。假设：僵尸啃大蒜后将等概率地到相邻两行（如果在第1或5行则只能进入2或4行），並且其在某一列啃满四次后，第五次在该列啃大蒜的时候将进入相邻行的下一列，到最后一列时会被车推死。问，该僵尸死于中间那辆车下的概率。

该贴中的“文艺算法”用到了马尔可夫模型，但列出的式子有点不规范，应该如下：
$$! \begin{array}{l} S &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0.5 & 0 & 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0 & 0.5 & 0 & 0.5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}^{ 5 \times 9} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & 0.5 & 0 & 0.5 & 0 \end{bmatrix} \end{array}[......]

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贝特朗悖论：在一给定圆内所有的弦中任选一条弦，求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率。

至少有三种方法可以在一个圆上随机选择一条弦，如下：

解法一：如左图，由于对称性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～120°之间，其长才合乎要求。所有方向是等可能的，则所求概率为1/3。此时假定端点在圆周上均匀分布。
解法二：如中图，由于对称性，可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4点与3/4点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。所有交点是等可能的，则所求概率为1/2。此时假定弦的中心在直径上均匀分布。
解法三：如右图，弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。中点位置都是等可能的，则所求概率为1/4。此时假定弦长被其中心唯一确定。

这导致同一事件有不同概率，因此为悖论。

同一问题有三种不同答案，究其原因在于圆内“取弦”时规定尚不够具体，不同的“等可能性假定”导致了不同的样本空间，具体如下，其中“均匀分布”应理解为“等可能取点”：
解法一中假定弦的另一端在圆周上均匀分布，圆周上的点组成[......]

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