赌徒破产问题

一个赌徒在每次赌博中以概率p赢一个单位,并以概率q=1-p输一个单位,假设各次赌博都是独立的,赌徒在开始时有a个单位,问他的财富在达到0(即破产)前先达到N的概率是多少[1]

设Pa(a=0,1,…,N)记赌徒在开始时有a个单位而且他的财富最终达到N的概率。通过对初始的一次赌博的结果取条件,我们得到

Pa = pPa+1 + q Pa-1,  a=1,2,…,N-1

由于p+q=1,上式等价地有

pPa + qPa = pPa+1 + q Pa-1

或者

Pa+1 - Pa = (Pa - Pa-1),  a=1,2,…,N-1

由于P0 = 0,我们从上一式得到

P2 - P1 = (P1 - P0) = P1
P3 - P2 = (P2 - P1) = P1

Pa - Pa-1 = (Pa-1 - Pa-2) = P1

PN - PN-1 = (PN-1 - PN-2) = P1

将这些方程的前a-1个相加,得到




利用PN = 1,我们得到


因此


注意,当N->∞时:


因此,若p>1/2,则存在一个正概率,赌徒的财富将无限地增长;而若p<=1/2时,则赌徒将(以概率1)在对阵一个无限富有的对手时破产。正所谓“久赌必输”,就算是一对一机会均等的赌局(p=1/2),要是一直赌下去的话,最终将会破产。 书籍[2]中对以上赌徒破产问题进行了比较深入的讨论,该书对赌徒破产概率的计算使用了差分方程的解法:
Pa = pPa+1 + q Pa-1

其中PN = 1,P0 = 0。对以上差分方程,令Pa = λa,得到

λa = pλa+1 + q λa-1
2 - λ + q = 0


当p≠q时,差分方程有两个异根,因此Pa = C + D(q/p) a,C和D是常数。根据PN = 1,P0 = 0,得到

C + D(q/p) N = 1
C + D = 0

解得


当p=q时,对上式取z = q/p趋近于1时的值:


因此同样可得

参考:
[1] Ross, Introduction to Probability Models (中文版《应用随机过程:概率模型导论》).
[2] Problem 5, Huygens and the Gambler’s Ruin. Classic Problems of Probability. Wiley, 2012.

Trackbacks

  1. [...] 考虑赌徒破产问题,当赌徒初始有a单位财富,在每一次赌博中,他以1/2概率输掉1单位财富,以1/2概率赢得1单位财富,则他最后能赢得N单位财富的概率为a/N。以另一种角度考虑这个问题,假设进行了n次赌博后,赌徒有Kn单位财富,则再进行一次赌博后,他的财富期望值为 E(K_{n+1})=frac{1}{2}(K_{n}+1)+frac{1}{2}(K_{n}-1)=K_{n} ,即下一次赌博后的财富期望值等于目前的财富,这种性质在概率论中叫做鞅[2]。那么,当赌徒初始有a单位财富时,他进行了一次赌博后,他的财富期望值仍为a,如此进行了多次,直到赌徒破产(财富为0)或者财富增加到N单位,这一过程中赌徒的财富期望值一直是a,则令p为赌徒的财富能够达到N的概率,q为赌徒破产的概率,那么必定有: a=p times N + q times 0 ,从而推出 p=frac{a}{N} 。 [...]

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