Trials Until First Success

On the average, how many times must a die be thrown until one gets a 6?

这是《Fifty Challenging Problems in Probability with Solutions》书中的第4个题目^[1]，书中给出了两种解法。

方法一：

设p为在一次掷骰子中得到6的概率（很明显，p=1/6），令q=1-p。则首次掷到6的概率分布为：

平均次数则为：

m = p + 2pq + 3pq² + 4pq³ + ···

上式两边同时乘以q，则有：

qm = pq + 2pq² + 3pq³ + 4pq⁴ + ···

两式相减，则有：

m - qm = p + pq + pq² + pq³ + ···

m(1 - q) = p(1 + q + q² + ···) = p/(1 - q) = 1

所以：

mp = 1, m = 1/p = 6.

方法二：

当第1次就掷到6时，则次数为1；而当第1次掷不到6时，则次数为（1+m)，从而平均次数为：

m = p × 1 + q × (1 + m)

m = 1 + q × m

m = 1/(1 - q) = 1/p = 6

方法三：

除了该书中的两种方法以外，还可以用吸收链的性质计算首次掷到6的平均次数。

容易得到标准形式的转移矩阵为：

则有：

由矩阵t可以看出，当第1次掷到1~5时，在掷到6前平均还需要6次，则有：

m = 5 × p × (6 + 1) + p × 1 = 36p = 36 × 1/6 = 6

参考：
[1] http://goo.gl/7dOuk